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内容大纲
本书分为复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分通过扩展实变函数理论知识体系介绍复变函数论的知识内容，在增强逻辑性的基础上降低阅读难度。数学物理方程部分通过精选大量实例，从物理问题的提出、泛定方程和定解条件的导出开始，介绍定解问题的各种求解方法。本书在复变函数论部分着重强调复变函数论知识体系的整体性，在数学物理方程部分着重强调定解问题的物理意义，在泛定方程的导出和定解问题求解过程中，通过相似的求解步骤强化定解问题思想解决物理问题的应用，增强科学性和可读性。
本书是为物理和数学基础知识薄弱的物理学及相关理工科专业本科生编写，适合作为普通院校物理学及相关理工科专业本科生教材。 -
作者介绍
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目录
第一篇 复变函数论
第1章 复数的引入及其运算、复变函数
1.1 实数集扩展到复数集的必要性
1.1.1 物理需求
1.1.2 数集封闭性需求
1.2 实数集扩展到复数集
1.2.1 引入复数的基本假设
1.2.2 复数的基本特点
1.3 实数运算扩展到复数运算
1.3.1 加法扩展
1.3.2 减法扩展
1.3.3 乘法扩展
1.3.4 除法扩展
1.3.5 幂运算扩展
1.4 实变函数扩展到复变函数
1.4.1 复变函数
1.4.2 区域解释
1.4.3 复变函数特例
1.4.4 复变函数的二元实变函数表示
第2章 复变函数的导数与解析函数
2.1 复变函数的导数
2.1.1 柯西-黎曼条件
2.1.2 函数可导的充分必要条件
2.1.3 极坐标系下的柯西-黎曼条件
2.1.4 复变函数的求导规则
2.2 解析函数
2.2.1 解析函数的定义
2.2.2 解析函数特例
2.2.3 解析函数的性质
2.2.4 解析函数实部与虚部的关联
第3章 复变函数的积分
3.1 复变函数的路径积分
3.1.1 复变函数路径积分的定义
3.1.2 路径积分的实变函数表示
3.1.3 复变函数路径积分的性质
3.1.4 积分特例
3.2 函数积分与路径的关系
3.2.1 单连通区域、复连通区域
3.2.2 单连通区域上的柯西积分定理
3.2.3 复连通区域上的柯西积分定理
3.2.4 柯西积分定理总结
3.2.5 重要积分
3.3 柯西积分公式及推论
3.3.1 柯西积分公式
3.3.2 柯西积分公式的扩展
3.3.3 柯西积分公式的推论
3.3.4 柯西积分公式的应用
3.4 不定积分
第4章 复变函数的幂级数展开
4.1 复数项级数
4.1.1 复数项级数的定义
4.1.2 复数项级数收敛的判据
4.1.3 收敛级数之间的关系
4.1.4 各项为函数时复数项级数的收敛性
4.1.5 收敛性、连续性结论
4.2 幂级数
4.2.1 幂级数的定义
4.2.2 幂级数的收敛判据
4.2.3 收敛半径计算例题
4.2.4 幂级数与解析函数
4.3 解析函数的幂级数展开
4.3.1 解析函数的泰勒级数展开
4.3.2 解析函数的洛朗级数展开
4.4 函数的奇点
第5章 复变函数积分的留数定理
5.1 积分环路包围函数奇点的积分
5.1.1 一个孤立奇点的情况
5.1.2 多个孤立奇点的情况
5.2 函数奇点的留数计算
5.2.1 一般方法
5.2.2 可去奇点
5.2.3 极点的留数
5.2.4 留数计算例题
5.3 留数定理的应用
5.3.1 应用留数定理计算实变函数积分的可能性
5.3.2 类型（一）——含三角函数的积分计算
5.3.3 类型（二）——反常积分的计算
5.3.4 类型（三）——可化为反常积分的情况
5.3.5 类型（四）——实轴上有奇点的反常积分
第6章 函数的傅里叶变换
6.1 函数展开为傅里叶级数
6.1.1 周期函数展开为傅里叶级数
6.1.2 傅里叶级数的收敛性
6.1.3 奇函数、偶函数的傅里叶级数展开
6.1.4 有限区域上的函数展开为傅里叶级数
6.1.5 复数形式的傅里叶级数
6.2 非周期函数的傅里叶变换
6.2.1 实数形式的傅里叶变换
6.2.2 复数形式的傅里叶变换
6.2.3 傅里叶变换的基本性质
6.2.4 多元函数的傅里叶积分
第7章 实变函数的拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换的引入
7.1.1 符号法
7.1.2 傅里叶变换的延伸
7.2 拉普拉斯变换及其基本性质
7.2.1 拉普拉斯变换的定义
7.2.2 一般函数的拉普拉斯变换
7.2.3 拉普拉斯变换的基本性质
7.3 拉普拉斯变换的反演
7.3.1 黎曼-梅林反演公式
7.3.2 有理分式的反演法
7.3.3 查表法
7.3.4 Mathematica软件应用
7.4 拉普拉斯变换的应用
7.4.1 拉普拉斯变换解方程的思路
7.4.2 求解微分方程
附录 拉普拉斯变换函数表
第8章 Delta函数
8.1 δ函数的定义
8.2 δ函数的性质
8.2.1 奇偶性
8.2.2 阶跃函数可表示为δ函数的积分
8.2.3 挑选性
8.2.4 连续分布函数与δ函数
8.2.5 δ函数与方程的根
8.3 δ函数的傅里叶积分
8.3.1 δ函数的傅里叶积分
8.3.2 广义函数与δ函数
8.4 多维δ函数
第二篇 数学物理方程
第9章 定解问题的导出
9.1 定解问题
9.1.1 泛定方程
9.1.2 边界条件
9.1.3 初始条件
9.2 定解问题的导出
9.2.1 一维定解问题的导出
9.2.2 二维定解问题的导出
9.2.3 三维定解问题的导出
9.3 泛定方程的数学分类
9.3.1 泛定方程的线性属性分类
9.3.2 泛定方程的齐次性分类
9.4 边界条件的物理属性分类
9.5 边界条件的数学分类
9.5.1 边界条件的线性属性
9.5.2 边界条件的齐次性
9.6 定解问题的物理分类
第10章 定解问题的求解——达朗贝尔公式
10.1 达朗贝尔公式
10.1.1 一维振动问题的通解
10.1.2 函数f1(x)和f2(x)的确定
10.1.3 特例
10.2 端点的反射
10.2.1 半波损失
10.2.2 正常反射
10.3 定解问题的整体性与适定性
第11章 定解问题的求解——一维问题的分离变数法
11.1 齐次方程、齐次边界条件定解问题
11.1.1 例题1（两端第一类齐次边界条件）
11.1.2 例题2（两端第二类齐次边界条件）
11.1.3 例题3（混合齐次边界条件）
11.2 非齐次泛定方程、齐次边界条件定解问题
11.2.1 傅里叶级数法
11.2.2 冲量定理法（初始条件均为齐次）
11.3 非齐次边界条件的定解问题
11.4 一般定解问题处理
11.4.1 有界系统的振动问题
11.4.2 有界系统的输运问题
第12章 定解问题的求解——二维问题的分离变数法
12.1 矩形系统的定解问题
12.1.1 例题1（拉普拉斯方程的狄里希利问题）
12.1.2 例题2（泊松方程的狄里希利问题）
12.2 圆形系统的定解问题
12.2.1 例题1（拉普拉斯方程的狄里希利问题）
12.2.2 例题2（泊松方程的狄里希利问题）
第13章 定解问题的求解——三维问题的分离变数法
13.1 球内部的定解问题
13.1.1 例题1（球内拉普拉斯方程第一边值问题）
13.1.2 例题2（半球内拉普拉斯方程边值问题）
13.1.3 例题3（球内输运方程第一边值问题）
13.2 球边界衔接条件定解问题
13.3 球外部定解问题
13.4 圆柱体内部定解问题
13.4.1 例题1（圆柱内拉普拉斯方程柱侧第一类边值问题）
13.4.2 例题2（圆柱内拉普拉斯方程上下两底面第一类边值问题）
13.5 圆柱体外部定解问题
第14章 定解问题的求解——齐次泛定方程分离变数
14.1 一维齐次泛定方程分离变数
14.1.1 一维自由振动方程分离变数
14.1.2 一维自由输运方程分离变数
14.2 二维齐次泛定方程分离变数
14.2.1 二维拉普拉斯方程在直角坐标系中分离变数
14.2.2 二维拉普拉斯方程在极坐标系中分离变数
14.2.3 二维自由振动方程在直角坐标系中分离变数
14.2.4 二维自由振动方程在极坐标系中分离变数
14.2.5 二维自由输运方程在直角坐标系中分离变数
14.2.6 二维自由输运方程在极坐标系中分离变数
14.3 三维齐次泛定方程分离变数
14.3.1 三维拉普拉斯方程在直角坐标系中分离变数
14.3.2 三维拉普拉斯方程在球坐标系中分离变数
14.3.3 三维拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变数
14.3.4 三维自由振动方程在直角坐标系中分离变数
14.3.5 三维自由振动方程在球坐标系中分离变数
14.3.6 三维自由振动方程在柱坐标系中分离变数
14.3.7 三维自由输运方程在直角坐标系中分离变数
14.3.8 三维自由输运方程在球坐标系中分离变数
14.3.9 三维自由输运方程在柱坐标系中分离变数
第15
15.2 二阶、齐次、线性、常系数微分方程的本征值问题
15.2.1 第一类齐次边值条件问题
15.2.2 第二类齐次边值条件问题
15.2.3 混合齐次边值条件问题
15.2.4 自然周期边值条件问题
15.3 施图姆-刘维尔本征值问题
15.3.1 施图姆-刘维尔方程
15.3.2 施图姆-刘维尔本征值问题特例
15.3.3 施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质
15.3.4 希尔伯特空间
15.4 常微分方程级数法求解
15.4.1 常微分方程的常点与奇点
15.4.2 常点邻域的级数解
15.4.3 奇点邻域的级数解法
15.5 二阶、齐次、线性、变系数常微分方程的本征值问题
15.5.1 勒让德方程的解
15.5.2 连带勒让德方程的解
15.5.3 柱侧第一类齐次边值条件本征值问题
15.5.4 柱侧第二类齐次边值条件本征值问题
15.5.5 柱侧第三类齐次边界条件本征值问题
15.5.6 球贝塞尔方程的本征值问题
15.6 m阶虚宗量贝塞尔方程的特解
15.6.1 m阶虚宗量贝塞尔方程的第一个特解
15.6.2 m阶虚宗量贝塞尔方程的第二个特解
15.6.3 m阶虚宗量贝塞尔方程的通解
附录 极限法推演m阶诺伊曼函数
第16章 定解问题的求解——格林函数法
16.1 泊松方程的格林函数法
16.1.1 泊松方程的基本积分公式
16.1.2 格林函数求解方法
16.1.3 格林函数法例题
16.2 波动方程定解问题的格林函数法
16.2.1 波动问题的格林函数对称性
16.2.2 波动问题解的积分公式
16.2.3 输运问题解的积分公式
16.2.4 用冲量定理法求含时格林函数
第17章 定解问题的求解——积分变换法
17.1 傅里叶变换法
17.1.1 例题1（一维无限长弦的自由振动问题）
17.1.2 例题2（一维无限长杆的自由输运问题）
17.1.3 例题3（一维无限长杆的有源输运问题）
17.1.4 例题4（一维半无限区域的限定源扩散问题）
17.1.5 例题5（一维半无限区域的恒定表面浓度问题）
17.1.6 例题6（三维无界空间的自由振动问题）
17.1.7 例题7（三维无界空间的受迫振动问题）
17.2 拉普拉斯变换法
17.2.1 例题1（一维无限长弦的自由振动问题）
17.2.2 例题2（一维半无限区域的恒定表面浓度问题）
17.2.3 例题3（一维无限长传输线问题）
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