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内容大纲
本书是高等院校高年级本科生泛函分析课程的辅导教材，可与国内通用的泛函分析教材同步使用，特别适合于作为《泛函分析讲义(上册)》(张恭庆、林源渠编著，北京大学出版社)的配套辅导教材。全书共分四章，内容包括度量空间、线性算子与线性泛函、广义函数与索伯列夫空间、紧算子与Fredholm算子。每小节按基本内容、典型例题精解两部分编写。基本内容简明介绍了读者应掌握的基础知识；典型例题精解按照基础题、规范题、综合题三种类型，从易到难，循序渐进，详细讲述例题的解法，并对解题方法进行归纳和总结，以帮助学生克服由于不适应泛函分析中全新的研究对象和处理问题的方法所产生的困惑，同时也为任课教师提供一些便利条件。
本书可作为综合大学、理工科大学、高等师范学校数学、计算数学、应用数学等专业大学生学习泛函分析的辅导书。对担任泛函分析课程教学任务的青年教师，本书是较好的教学参考书。 -
作者介绍
林源渠，北京大学数学科学学院教授。1965年毕业于北京大学数学力学系，从事高等数学、数学分析、泛函分析、线性代数、渐近分析、数值分析、常微分方程、控制论等十余门课程的教学工作，研究方向为反应扩散方程。在四十余年的高等数学、数学分析的教学工作中，作者对高等数学的解题思路、方法与技巧有深入研究，造诣颇深，有自己的特色。参加编写的教材有《泛函分析讲义(上册)》《数值分析》《数学分析解题指南》《数学分析习题集》《高等数学精选习题解析》《泛函分析学习指南》等。 -
目录
第一章 度量空间
§1 压缩映像原理
基本内容
距离空间的定义
距离空间的刻画
典型例题精解
§2 完备化
基本内容
典型例题精解
§3 列紧集
基本内容
典型例题精解
§4 线性赋范空间
基本内容
线性空间与线性赋范空间
几个重要的Banach空间
应用(最佳逼近问题)
有穷维B*空间的刻画
商空间
典型例题精解
§5 凸集与不动点
基本内容
定义与基本性质
Brower与Sehauder不动点定理
典型例题精解
§6 内积空间
基本内容
典型例题精解
第二章 线性算子与线性泛函
§1 线性算子和线性泛函的定义
基本内容
线性算子和线性泛函的定义
线性算子的连续性和有界性
典型例题精解
§2 RieSZ定理及其应用
基本内容
典型例题精解
§3 纲与开映像定理
基本内容
纲与纲推理
开映像定理
闭图像定理
共鸣定理
应用
典型例题精解
§4 Hahn—Banach定理
基本内容
Hahn—Banach定理
几何形式——凸集分离定理
应用
典型例题精解
§5 共轭空间·弱收敛·自反空间
基本内容
共轭空间与自然映射
弱列紧性与弱*列紧性
典型例题精解
§6 线性算子的谱
基本内容
谱的定义与性质
Gelfand定理
典型例题精解
第三章 广义函数与sobolev空间
§1 广义函数的概念
基本内容
软化子(磨光函数)
基本函数空间D(Ω)
广义函数的定义和基本性质
广义函数的收敛性
典型例题精解
§2 B0空间
基本内容
典型例题精解
§3 广义函数的运算
基本内容
广义微商
广义函数的乘法
平移算子与反射算子
几个公式
典型例题精解
§4 □(特殊字体)上的Fourier变换
基本内容
Fourier变换的定义
Fourier变换的性质
几个公式
典型例题精解
§5 Sob01ev空间与嵌入定理
基本内容
典型例题精解
第四章 紧算子与Fredholm算子
§1 紧算子定义和基本性质
基本内容
典型例题精解
§2 Riesz—Fredholm理论
基本内容
记号
重要结论
典型例题精解
§3 紧算子的谱理论(Riesz—Schauder理论)
基本内容
紧算子的谱
不变子空间
紧算子的结构
典型例题精解
§4 Hilbert—Schmidt定理
基本内容
典型例题精解
§5 对椭圆型方程的应用
基本内容
对于边值问题的应用
对于特征值问题的应用
典型例题精解
§6 Fredholm算子
基本内容
典型例题精解
符号表
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