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内容大纲
本书是一部实分析方面的经典教材,主要分三部分,第一部分为一元实变量函数的Lebesgue积分。第二部分为抽象空间(包括度量空间、拓扑空间、Banach空间和Hilbert空间),第三部分为一般测度与积分理论。此外,书中每节后都提供了大量习题,这些习题的解答基本上不涉及艰深的技巧,主要用来帮助读者更好地理解书中的内容。
本书内容丰富,涵盖了实分析、泛函分析的几乎所有基础性内容,叙述非常清晰、流畅且富有启发性。适合作为高等院校相关专业学生实分析课程的教材。 -
作者介绍
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目录
译者序
前言
第一部分 一元实变量函数的Lebesgue积分
第0章 集合、映射与关系的预备知识
0.1 集合的并与交
0.2 集合间的映射
0.3 等价关系、选择公理以及Zorn引理
第1章 实数集:集合、序列与函数
1.1 域、正性以及完备性公理
1.2 自然数与有理数
1.3 可数集与不可数集
1.4 实数的开集、闭集和Borel集
1.5 实数序列
1.6 实变量的连续实值函数
第2章 Lebesgue测度
2.1 引言
2.2 Lebesgue外测度
2.3 Lebesgue可测集的σ代数
2.4 Lebesgue可测集的外逼近和内逼近
2.5 可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理
2.6 不可测集
2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函数
第3章 Lebesgue可测函数
3.1 和、积与复合
3.2 序列的逐点极限与简单逼近
3.3 Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理
第4章 Lebesgue积分
4.1 Riemann积分
4.2 有限测度集上的有界可测函数的Lebesgue积分
4.3 非负可测函数的Lebesgue积分
4.4 一般的Lebesgue积分
4.5 积分的可数可加性与连续性
4.6 一致可积性:Vitali收敛定理
第5章 Lebesgue积分:深入课题
5.1 一致可积性和紧性:一般的Vitali收敛定理
5.2 依测度收敛
5.3 Riemann可积与Lebesgue可积的刻画
第6章 微分与积分
6.1 单调函数的连续性
6.2 单调函数的可微性:Lebesgue定理
6.3 有界变差函数:Jordan定理
6.4 绝对连续函数
6.5 导数的积分:微分不定积分
6.6 凸函数
第7章 Lp空间:完备性与逼近
7.1 赋范线性空间
7.2 Young、Hlder与Minkowski不等式
7.3 Lp是完备的:Riesz-Fischer定理
7.4 逼近与可分性
第8章 Lp空间:对偶与弱收敛
8.1 关于Lp(1≤p<∞)的对偶的Riesz表示定理
8.2 Lp中的弱序列收敛
8.3 弱序列紧性
8.4 凸泛函的最小化
第二部分 抽象空间:度量空间、拓扑空间、Banach空间和Hilbert空间
第9章 度量空间:一般性质
9.1 度量空间的例子
9.2 开集、闭集以及收敛序列
9.3 度量空间之间的连续映射
9.4 完备度量空间
9.5 紧度量空间
9.6 可分度量空间
第10章 度量空间:三个基本定理
10.1 Arzel-Ascoli定理
10.2 Baire范畴定理
10.3 Banach压缩原理
第11章 拓扑空间:一般性质
11.1 开集、闭集、基和子基
11.2 分离性质
11.3 可数性与可分性
11.4 拓扑空间之间的连续映射
11.5 紧拓扑空间
11.6 连通的拓扑空间
第12章 拓扑空间:三个基本定理
12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理
12.2 Tychonoff乘积定理
12.3 Stone-Weierstrass定理
第13章 Banach空间之间的连续线性算子
13.1 赋范线性空间
13.2 线性算子
13.3 紧性丧失:无穷维赋范线性空间
13.4 开映射与闭图像定理
13.5 一致有界原理
第14章 赋范线性空间的对偶
14.1 线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑
14.2 Hahn-Banach定理
14.3 自反Banach空间与弱序列收敛性
14.4 局部凸拓扑向量空间
14.5 凸集的分离与Mazur定理
14.6 Krein-Milman定理
第15章 重新得到紧性:弱拓扑
15.1 Helly定理的Alaoglu推广
15.2 自反性与弱紧性:Kakutani定理
15.3 紧性与弱序列紧性:Eberlein-mulian定理
15.4 弱拓扑的度量化
第16章 Hilbert空间上的连续线性算子
16.1 内积和正交性
16.2 对偶空间和弱序列收敛
16.3 Bessel不等式与规范正交基
16.4 线性算子的伴随与对称性
16.5 紧算子
16.6 Hilbert-Schmidt定理
16.7 Riesz-Schauder定理:Fredholm算子的刻画
第三部分 测度与积分:一般理论
第17章 一般测度空间:性质与构造
17.1 测度与可测集
17.2 带号测度:Hahn与Jordan分解
17.3 外测度诱导的Carathéodory测度
17.4 外测度的构造
17.5 将预测度延拓为测度:Carathéodory-Hahn定理
第18章 一般测度空间上的积分
18.1 可测函数
18.2 非负可测函数的积分
18.3 一般可测函数的积分
18.4 Radon-Nikodym定理
18.5 Nikodym度量空间:Vitali-Hahn-Saks定理
第19章 一般的Lp空间:完备性、对偶性和弱收敛性
19.1 Lp(X,μ)(1≤p≤∞)的完备性
19.2 关于Lp(X,μ)(1≤p<∞)的对偶的Riesz表示定理
19.3 关于L∞(X,μ)的对偶的Kantorovitch表示定理
19.4 Lp(X,μ)(1<p<∞)的弱序列紧性
19.5 L1(X,μ)的弱序列紧性:Dunford-Pettis定理
第20章 特定测度的构造
20.1 乘积测度:Fubini与Tonelli定理
20.2 欧氏空间Rn上的Lebesgue测度
20.3 累积分布函数与Borel测度
20.4 度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度
第21章 测度与拓扑
21.1 局部紧拓扑空间
21.2 集合分离与函数延拓
21.3 Radon测度的构造
21.4 Cc(X)上的正线性泛函的表示:Riesz-Markov定理
21.5 C(X)的对偶的表示:Riesz-Kakutani表示定理
21.6 Baire测度的正则性
第22章 不变测度
22.1 拓扑群:一般线性群
22.2 Kakutani不动点定理
22.3 紧群上的不变Borel测度:von Neumann定理
22.4 测度保持变换与遍历性:Bogoliubov-Krilov定理
参考文献
索引
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