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内容大纲
本书是实分析课程的优秀教材，被国外众多著名大学（如斯坦福大学、哈佛大学等）采用。全书分为三部分：第一部分讨论一元实变量函数的Lebesgue测度与Lebesgue积分；第二部分讨论抽象空间——拓扑空间、度量空间、Banach空间以及Hilbert空间；第三部分讨论一般测度空间上的积分，以及拓扑、代数和动态结构下丰富的一般理论。书中不仅包含数学定理和定义，而且还提出了富有启发性的问题，以便读者更深入地理解书中内容。 -
作者介绍
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目录
第一部分 一元实变量函数的Lebesgue积分
第0章 集合、映射与关系的预备知识
0.1 集合的并与交
0.2 集合间的映射
0.3 等价关系、选择公理以及Zorn引理
第1章 实数集：集合、序列与函数
1.1 域、正性以及完备性公理
1.2 自然数与有理数
1.3 可数集与不可数集
1.4 实数的开集、闭集和Borel集
1.5 实数序列
1.6 实变量的连续实值函数
第2章 Lebesgue测度
2.1 引言
2.2 Lebesgue外测度
2.3 Lebesgue可测集的代数
2.4 Lebesgue可测集的外逼近和内逼近
2.5 可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理
2.6 不可测集
2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函数
第3章 Lebesgue可测函数
3.1 和、积与复合
3.2 序列的逐点极限与简单逼近
3.3 Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理
第4章 Lebesgue积分
4.1 Riemann积分
4.2 有限测度集上的有界可测函数的
Lebesgue积分
4.3 非负可测函数的Lebesgue积分
4.4 一般的Lebesgue积分
4.5 积分的可数可加性与连续性
4.6 一致可积性：Vitali收敛定理
第5章 Lebesgue积分：深入课题
5.1 一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理
5.2 依测度收敛
5.3 Riemann可积与Lebesgue可积的刻画
第6章 微分与积分
6.1 单调函数的连续性
6.2 单调函数的可微性：Lebesgue定理
6.3 有界变差函数：Jordan定理
6.4 绝对连续函数
6.5 导数的积分：微分不定积分
6.6 凸函数
第7章 Lp空间：完备性与逼近
7.1 赋范线性空间
7.2 Young、H鰈der与Minkowski不等式
7.3 Lp是完备的：Riesz-Fischer定理
7.4 逼近与可分性
第8章 Lp空间：对偶与弱收敛
8.1 关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理
8.2 Lp中的弱序列收敛
8.3 弱序列紧性
8.4 凸泛函的最小化
第二部分 抽象空间：度量空间、
拓扑空间、Banach空间
和Hilbert空间
第9章 度量空间：一般性质
9.1 度量空间的例子
9.2 开集、闭集以及收敛序列
9.3 度量空间之间的连续映射
9.4 完备度量空间
9.5 紧度量空间
9.6 可分度量空间
第10章 度量空间：三个基本定理
10.1 Arzelà-Ascoli定理
10.2 Baire范畴定理
10.3 Banach压缩原理
第11章 拓扑空间：一般性质
11.1 开集、闭集、基和子基
11.2 分离性质
11.3 可数性与可分性
11.4 拓扑空间之间的连续映射
11.5 紧拓扑空间
11.6 连通的拓扑空间
第12章 拓扑空间：三个基本定理
12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理
12.2 Tychonoff乘积定理
12.3 Stone-Weierstrass定理
第13章 Banach空间之间的连续线性算子
13.1 赋范线性空间
13.2 线性算子
13.3 紧性丧失：无穷维赋范线性空间
13.4 开映射与闭图像定理
13.5 一致有界原理
第14章 赋范线性空间的对偶
14.1 线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑
14.2 Hahn-Banach定理
14.3 自反Banach空间与弱序列
收敛性
14.4 局部凸拓扑向量空间
14.5 凸集的分离与Mazur定理
14.6 Krein-Milman定理
第15章 重新得到紧性：弱拓扑
15.1 Helly定理的Alaoglu推广
15.2 自反性与弱紧性：Kakutani定理
15.3 紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理
15.4 弱拓扑的度量化
第16章 Hilbert空间上的连续线性算子
16.1 内积和正交性
16.2 对偶空间和弱序列收敛
16.3 Bessel不等式与规范正交基
16.4 线性算子的伴随与对称性
16.5 紧算子
16.6 Hilbert-Schmidt定理
16.7 Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画
第三部分 测度与积分：一般理论
第17章 一般测度空间：性质与构造
17.1 测度与可测集
17.2 带号测度：Hahn与Jordan分解
17.3 外测度诱导的Carathéodory测度
17.4 外测度的构造
17.5 将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理
第18章 一般测度空间上的积分
18.1 可测函数
18.2 非负可测函数的积分
18.3 一般可测函数的积分
18.4 Radon-Nikodym定理
18.5 Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理
第19章 一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性
19.1 Lp(X, )（1≤p≤∞）的完备性
19.2 关于Lp(X, )（1≤p<∞）的对偶的Riesz表示定理
19.3 关于L∞(X, )的对偶的Kantorovitch表示定理
19.4 Lp(X, )（1＜p＜∞）的弱序列紧性
19.5 L1(X, )的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理
第20章 特定测度的构造
20.1 乘积测度：Fubini与Tonelli定理
20.2 欧氏空间Rn上的Lebesgue测度
20.3 累积分布函数与Borel测度
20.4 度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度
第21章 测度与拓扑
21.1 局部紧拓扑空间
21.2 集合分离与函数延拓
21.3 Radon测度的构造
21.4 Cc(X)上的正线性泛函的表示：Riesz-Markov定理
21.5 C（X）的对偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理
21.6 Baire测度的正则性
第22章 不变测度
22.1 拓扑群：一般线性群
22.2 Kakutani不动点定理
22.3 紧群上的不变Borel测度：von Neumann定理
22.4 测度保持变换与遍历性：Bogoliubov-Krilov定理
参考文献
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