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内容大纲
本书是高等院校计算数学专业本科生学习数值分析课程的教材。全书内容除包括传统数值分析课程讲授的误差分析、多项式插值、数值微分与积分、非线性方程的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法等以外，还加入了快速Fourier变换和Monte Carlo方法。此外，在传统的内容中也加入了新的元素，例如在多项式插值中加入了有理逼近，数值积分中介绍了谱精度的概念，常微分方程数值解中加入了刚性方程的介绍，等等。本书不仅强调各种数值算法的数学分析与原理，而且强调算法实现过程中必须注意的一些基本问题。另外，本书还介绍了一些实现算法的常用数学软件及其获取的途径，以便于读者学习和使用。每章末尾都附有相当数量的理论和上机计算的习题，并对有一定难度的部分给出提示，以供读者选用。
本书也可供从事与数值计算相关工作的科技人员参考。 -
作者介绍
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目录
第一章 绪论
§1.1 引言
§1.2 误差的基本概念
1.2.1 误差来源
1.2.2 绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.3 运算误差分析
§1.3 浮点数系统
§1.4 计算复杂性和收敛速度
§1.5 敏度分析与误差分析
§1.6 常用数学软件介绍
习题一
上机习题一
第二章 函数的多项式插值与逼近
§2.1 引言
§2.2 多项式插值问题的提法
§2.3 Lagrange插值方法
§2.4 Newton插值方法
§2.5 分段低次多项式插值
2.5.1 等距节点上高次插值多项式的Runge现象
2.5.2 分段线性插值
2.5.3 Hermite插值
2.5.4 分段三次Hermite插值
2.5.5 三次样条插值
2.5.6 B-样条函数
§2.6 最佳一致逼近
§2.7 最小二乘多项式拟合
§2.8 最佳平方逼近
§2.9 正交多项式
§2.10 有理插值与逼近
2.10.1 有理插值
2.10.2 Pade逼近
习题二
上机习题二
第三章 数值微分与数值积分
§3.1 引言
§3.2 数值微分
3.2.1 Taylor展开法
3.2.2 插值型求导公式
§3.3 数值积分
3.3.1 中点公式、梯形公式与Simpson公式
3.3.2 Newton-Cotes求积公式
3.3.3 复合求积公式
3.3.4 加速收敛技术与Romberg求积方法
3.3.5 Gauss求积公式
3.3.6 积分方程的数值解
习题三
上机习题三
第四章 非线性方程组数值解法
§4.1 引言
§4.2 非线性方程的迭代解法
4.2.1 二分法
4.2.2 不动点迭代法
4.2.3 Newton迭代法
4.2.4 割线法
§4.3 非线性方程组的迭代解法
4.3.1 非线性Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代
4.3.2 Newton迭代法及其改进算法
§4.4 大范围算法简介
习题四
上机习题四
第五章 快速Fourier变换
§5.1 引言
§5.2 Fourier变换与离散Fourier变换
5.2.1 Fourier变换
5.2.2 离散Fourier变换
§5.3 快速Fourier变换
5.3.1 基本算法
5.3.2 具体实例
§5.4 快速Fourier变换的应用
5.4.1 计算卷积
5.4.2 求解系数矩阵为循环矩阵的线性方程组
5.4.3 求解微分方程
习题五
上机习题五
第六章 常微分方程数值方法
§6.1 引言
§6.2 Euler方法
6.2.1 Euler方法及其稳定性
6.2.2 局部误差和方法的阶
6.2.3 Euler方法的误差分析
§6.3 Runge-Kutta方法
6.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想
6.3.2 显式Runge-Kutta方法及稳定性
6.3.3 隐式Runge-Kutta方法
§6.4 线性多步法与预估-校正格式
§6.5 理论分析
6.5.1 单步法的收敛性分析
6.5.2 稳定性
6.5.3 收敛性
§6.6 方程组及高阶方程数值方法
§6.7 刚性方程组
§6.8 分子动力学中的数值方法
§6.9 Hamilton系统的辛几何算法
6.9.1 辛几何与辛代数的基本概念
6.9.2 线性Hamilton系统的辛差分格式
6.9.3 辛Runge-Kutta方法
§6.10 边值问题
6.10.1 问题提法
6.10.2 打靶法
习题六
上机习题六
第七章 Monte Caurlo方法
§7.1 引言
§7.2 随机数的产生
7.2.1 μ[0，1]伪随机数的产生
7.2.2 一般分布的随机变量的产生
§7.3 减小方差的技巧
7.3.1 重要性抽样法
7.3.2 控制变量法
7.3.3 分层抽样法
7.3.4 对偶变量法
§7.4 Metropolis算法
7.4.1 基本思想
7.4.2 物理直观
7.4.3 数学表述
7.4.4 理论框架
§7.5 模拟退火算法
7.5.1 基本框架
7.5.2 理论结果
§7.6 拟Monte Carlo方法
7.6.1 差异
7.6.2 变差
7.6.3 拟Monte Carlo积分
7.6.4 拟Monte Carlo方法的缺陷
习题七
上机习题七
参考文献
符号说明
名词索引
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