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内容大纲
本书是同济大学数学科学学院计算数学教研室老师集体智慧的结晶。全书共9章，包括科学计算与MATLAB、线性代数方程组的直接法、线性代数方程组的迭代法、多项式插值与样条插值、函数逼近、数值积分与数值微分、非线性方程求解、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程初边值问题数值解。本书阐述了当今科学与工程研究中经常遇到的数值计算问题求解的新方法，如快速傅里叶变换、蒙特卡罗模拟求积法（高维积分计算）、数值求导的稳定算法、大型线性代数方程组的分块迭代算法等。本书在介绍一些重要的典型算法时，附上在工程中广泛使用的MATLAB程序，各章附有丰富的习题和数值实验，以及配套的习题指导，可供读者参考。
本书可作为高等院校工科本科生和研究生“数值计算”课程的教材，也可作为相关科研人员的参考书。 -
作者介绍
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目录
第1章 科学计算与MATLAB
§1.1 科学计算的意义
§1.2 误差基础知识
§1.2.1 误差的来源
§1.2.2 误差度量
§1.2.3 有效数字
§1.2.4 向量的误差
§1.2.5 计算机的浮点数系
§1.2.6 一个实例
§1.2.7 数值计算中应注意的基本问题
§1.3 MATLAB软件
§1.3.1 简介
§1.3.2 向量和矩阵的基本运算
§1.3.3 流程控制
§1.3.4 脚本文件和函数文件
§1.3.5 帮助系统
§1.3.6 画图功能
§1.3.7 数据操作
评注
习题一
数值实验一
第2章 线性代数方程组的直接法
§2.1 高斯消元法
§2.2 矩阵的三角分解
§2.2.1 LU分解和LDU分解
§2.2.2 乔列斯基分解
§2.2.3 追赶法
§2.2.4 分块三角分解
§2.3 正交矩阵与奇异值分解
§2.3.1 正交矩阵
§2.3.2 奇异值分解
评注
习题二
数值实验二
第3章 线性代数方程组的迭代法
§3.1 范数和条件数
§3.1.1 矩阵范数
§3.1.2 扰动分析和条件数
§3.2 基本迭代法
§3.2.1 雅可比迭代法
§3.2.2 高斯-赛德尔迭代法
§3.2.3 逐次超松弛迭代法
§3.2.4 迭代法的收敛性分析和误差估计
§3.3 不定常迭代法
§3.3.1 最速下降法
§3.3.2 共轭梯度法
§3.3.3 广义极小残量法
§3.3.4 预处理技术
评注
习题三
数值实验三
第4章 多项式插值与样条插值
§4.1 多项式插值
§4.1.1 多项式插值问题的定义
§4.1.2 插值多项式的存在唯一性
§4.1.3 插值基函数
§4.2 拉格朗日插值
§4.2.1 拉格朗日插值基函数
§4.2.2 拉格朗日插值多项式
§4.2.3 插值余项
§4.3 牛顿插值
§4.3.1 差商
§4.3.2 牛顿插值公式及其余项
§4.3.3 差分与等距节点的插值公式
§4.4 埃尔米特插值
§4.4.1 两点三次埃尔米特插值
§4.4.2 埃尔米特插值多项式的余项
§4.4.3 n+1点埃尔米特插值多项式及其余项
§4.5 三次样条插值
§4.5.1 样条插值概念的产生
§4.5.2 三次样条插值函数
评注
习题四
数值实验四
第5章 函数逼近
§5.1 内积与正交多项式
§5.1.1 权函数和内积
§5.1.2 正交函数系
§5.1.3 勒让德多项式
§5.1.4 切比雪夫多项式
§5.1.5 其他正交多项式
§5.2 最佳一致逼近与切比雪夫展开
§5.2.1 最佳一致逼近多项式
§5.2.2 线性最佳一致逼近多项式的求法
§5.2.3 切比雪夫展开与近似最佳一致逼近多项式
§5.3 最佳平方逼近
§5.3.1 预备知识
§5.3.2 最佳平方逼近的法方程方法
§5.4 曲线拟合的最小二乘法
§5.4.1 最小二乘法
§5.4.2 利用正交多项式作最小二乘拟合
§5.4.3 非线性最小二乘问题的近代线性化
§5.4.4 矛盾方程组
§5.5 周期函数逼近与快速傅里叶变换
§5.5.1 周期函数的最佳平方逼近
§5.5.2 快速傅里叶变换
评注
习题五
数值实验五
第6章 数值积分与数值微分
§6.1 几个常用求积公式及其复合求积公式
§6.1.1 几个常用求积公式
§6.1.2 代数精度
§6.1.3 牛顿科茨公式
§6.1.4 求积公式的复合
§6.2 变步长方法与外推加速技术
§6.2.1 变步长梯形法
§6.2.2 外推加速技术与龙贝格积分法
§6.3 高斯公式
§6.3.1 高斯公式的定义及性质
§6.3.2 常用高斯型公式
§6.3.3 高斯型公式的应用
§6.4 多重积分的计算
§6.4.1 二重积分的计算
§6.4.2 蒙特卡罗模拟求积法简介
§6.5 数值微分
§6.5.1 基于拉格朗日插值多项式的求导方法
§6.5.2 基于样条插值函数的求导方法
评注
习题六
数值实验六
第7章 非线性方程求解十
§7.1 非线性方程求解的基本问题
§7.2 非线性方程基本迭代方法
§7.2.1 二分法
§7.2.2 不动点迭代方法
§7.2.3 迭代加速
§7.3 牛顿法和割线法
§7.3.1 牛顿法
§7.3.2 割线法
§7.4 非线性方程组简介
§7.5 非线性最小二乘问题的一般算法
§7.6 大范围求解方法
评注
习题七
数值实验七
第8章 矩阵特征值与特征向量的计算
§8.1 特征值问题的基本理论
§8.2 幂方法
§8.2.1 乘幂法
§8.2.2 反幂法
§8.2.3 结合原点平移的反幂法
§8.3 计算矩阵所有特征值的QR方法
评注
习题八
数值实验八
第9章 常微分方程初边值问题数值解
§9.1 欧拉公式及其改进
§9.1.1 欧拉公式
§9.1.2 数值积分与多步法
§9.1.3 预估校正公式
§9.2 龙格一库塔公式
§9.3 收敛性与稳定性
§9.3.1 显式单步法的收敛性
§9.3.2 单步法的稳定性
§9.4 微分方程组和刚性问题
§9.5 有限差分法
评注
习题九
数值实验九
参考文献
索引
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