- 函数论与泛函分析初步(第7版俄罗斯数学教材选译)(精)
- - 作者：(俄罗斯)A.H.柯尔莫戈洛夫//C.B.佛明|责编:吴晓丽|译者:段虞荣//郑洪深//郭思旭
  - 出版社：高等教育
  - ISBN：9787040637304
  - 出版日期：2025/04/01
  - 页数：452
- 售价：31.6

内容大纲
本书是世界著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫院士在莫斯科大学数学力学系多年讲授泛函分析教程（曾称《数学分析Ⅲ》）的基础上编写的。它是关于泛函分析与实变函数论的精细问题的严格的系统阐述，书中反映了作者的教育思想，体现了作者丰富的教学经验与方法。内容包括：集合论初步，度量空间与拓扑空间，赋范线性空间与线性拓扑空间，线性泛函与线性算子，测度、可测函数、积分，勒贝格不定积分、微分论，可和函数空间，三角函数傅里叶变换，线性积分方程，线性空间微分学概要以及附录的巴拿赫代数。
本书适合数学、物理及相关专业的高年级本科生、研究生、高校教师和研究人员参考使用。
作者介绍
目录
第一章  集合论初步
  1  集的概念  集上的运算
    基本定义
    集上的运算
  2  映射  分类
    集的映射  函数的一般概念
    分类  等价关系
  3  集的对等性  集的势的概念
    有限集与无限集
    可数集
    集的对等性
    实数集的不可数性
    康托尔-伯恩斯坦定理
    集的势的概念
  4  有序集  超限数
    偏序集
    保序映射
    序型  有序集
    有序集的有序和
    良序集  超限数
    序数的比较
    选择公理  策梅洛定理及与其等价的其他命题
    超限归纳法
  5  集族
    集环
    集半环
    半环生成的环
    σ代数
    集族与映射
第二章  度量空间与拓扑空间
  1  度量空间的概念
    定义与基本例子
    度量空间的连续映射  等距
  2  收敛性  开集与闭集
    极限点  闭包
    收敛性
    稠密集
    开集与闭集
    直线上的开集与闭集
  3  完备度量空间
    完备度量空间的定义与例子
    球套定理
    贝尔定理
    空间的完备化
  4  压缩映射原理及其应用
    压缩映射原理
    压缩映射原理最简单的一些应用
    微分方程的存在性与唯一性定理
    压缩映射原理应用于积分方程
  5  拓扑空间

    拓扑空间的定义与例子
    拓扑的比较
    确定邻域族  基  可数性公理
    T中的收敛序列
    连续映射  同胚
    分离性公理
    在空间中给定拓扑的不同方法  可度量性
  6  紧性
    紧性概念
    紧空间的连续映射
    在紧空间上的连续函数与半连续函数
    可数紧性
    准紧集
  7  度量空间的紧性
    完全有界性
    紧性与完全有界性
    度量空间中的准紧子集
    阿尔采拉定理
    佩亚诺定理
    一致连续性  度量紧统的连续映射
    拓广的阿尔采拉定理
  8  度量空间中的连结曲线
第三章  赋范线性空间与线性拓扑空间
  1  线性空间
    线性空间的定义及例子
    线性相关性
    子空间
    商空间
    线性泛函
    线性泛函的几何意义
  2  凸集与凸泛函  哈恩-巴拿赫定理
    凸集与凸体
    齐次凸泛函
    闵可夫斯基泛函
    哈恩-巴拿赫定理
    线性空间中凸集的可分离性
  3  赋范空间
    赋范空间的定义与例子
    赋范空间的子空间
    赋范空间的商空间
  4  欧几里得空间
    欧几里得空间的定义
    例子
    正交基的存在性  正交化
    贝塞尔不等式  封闭正交系
    完备的欧几里得空间  里斯-费希尔定理
    希尔伯特空间  同构定理
    子空间  正交补  和
    欧几里得空间的特性
    复欧几里得空间

  5  线性拓扑空间
    定义与例子
    局部凸性
    可数赋范空间
第四章  线性泛函与线性算子
  1  线性连续泛函
    线性拓扑空间中的线性连续泛函
    赋范空间上的线性泛函
    赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理
    在可数赋范空间中的线性泛函
  2  共轭空间
    共轭空间的定义
    共轭空间中的强拓扑
    共轭空间的例子
    二次共轭空间
  3  弱拓扑与弱收敛
    在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛
    赋范空间中的弱收敛
    共轭空间中的弱拓扑与弱收敛
    共轭空间中的有界集
  4  广义函数
    函数概念的推广
    基本函数空间
    广义函数
    广义函数的运算
    基本函数范围的充足性
    按导数求函数  广义函数类中的微分方程
    某些推广
  5  线性算子
    线性算子的定义与例
    连续性与有界性
    算子的和与积
    逆算子  可逆性
    共轭算子
    欧几里得空间中的共轭算子  自共轭算子
    算子的谱  预解式
  6  紧算子
    紧算子的定义与例
    紧算子的基本性质
    紧算子的特征值
    希尔伯特空间中的紧算子
    H中的自共轭紧算子
第五章  测度,  可测函数,  积分
  1  平面集的测度
    初等集的测度
    平面集的勒贝格测度
    若干补充与推广
  2  一般测度概念  测度从半环到环上的扩张  加性和σ加性
    测度的定义
    从半环到其所生成的环的测度扩张

    σ加性
  3  测度的勒贝格扩张
    给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张
    给定在不含单位集的半环上的测度扩张
    在σ有限测度的情形下可测性概念的扩充
    按约当意义的测度扩张
    测度扩张的单值性
  4  可测函数
    可测函数的定义及其基本性质
    可测函数的运算
    等价性
    几乎处处收敛性
    叶果洛夫定理
    按测度收敛
    鲁金定理  C性质
  5  勒贝格积分
    简单函数的勒贝格积分
    简单函数的勒贝格积分
    具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义
    σ加性和勒贝格积分的绝对连续性
    勒贝格积分号下取极限
    无穷测度集上的勒贝格积分
    勒贝格积分同黎曼积分之比较
  6  集族及其测度的直积  富比尼定理
    集族的乘积
    测度积
    用截线的线性测度之积分表示平面测度之表达式  勒贝格积分的几何意义
    富比尼定理
第六章  勒贝格不定积分  微分论
  1  单调函数  积分对上限的可微性
    单调函数的基本性质
    单调函数的可微性
    积分对上限求导数
  2  有界变差函数
  3  勒贝格不定积分的导数
  4  用函数的导数求原函数  绝对连续函数
  5  作为集函数的勒贝格积分  拉东-尼柯迪姆定理
    荷  哈恩分解和约当分解
    荷的基本类型
    绝对连续荷  拉东-尼柯迪姆定理
  6  斯蒂尔切斯积分
    斯蒂尔切斯测度
    勒贝格-斯蒂尔切斯积分
    勒贝格-斯蒂尔切斯积分在概率论中的某些应用
    黎曼-斯蒂尔切斯积分
    斯蒂尔切斯积分号下取极限
    连续函数空间中线性连续泛函的一般形式

第七章  可积函数空间
  1  空间L1

    空间L1  的定义与基本性质
    L1中处处稠密的集合
  2  空间L2
    定义与基本性质
    无穷测度的情形
    在L2中处处稠密的集合  同构定理
    复空间L2
    均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系
  3  L2中的正交函数系  按正交系展开的级数
    三角函数系  傅里叶三角级数
    在闭区间[0,π]上的三角函数系
    复形式的傅里叶级数
    勒让德多项式
    乘积正交系  多重傅里叶级数
    关于给定权正交的多项式
    空间  L2(-∞,∞)与L2(0,∞)中的正交基
    关于离散权的正交多项式
    哈尔系与拉德马赫-沃尔什系
第八章  三角级数  傅里叶变换
  1  傅里叶级数收敛的条件
    傅里叶级数在一点收敛的充分条件
    傅里叶级数一致收敛的条件
  2  费耶定理
    费耶定理
    三角函数系的完备性  魏斯特拉斯定理
    空间L1中的费耶定理
  3  傅里叶积分
    基本定理
    复形式的傅里叶积分
  4  傅里叶变换  它的性质与应用
    傅里叶变换与反演公式
    傅里叶变换的基本性质
    埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性
    快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换
    傅里叶变换与函数的卷积
    用傅里叶变换解热传导方程
    多元函数的傅里叶变换
  5  空间L2(-∞,∞)中的傅里叶变换
    布兰舍列尔定理
    埃尔米特函数
  6  拉普拉斯变换
    拉普拉斯变换的定义与基本性质
    拉普拉斯变换对解微分方程的应用
  7  傅里叶-斯蒂尔切斯变换
    傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义
    傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用
  8  广义函数的傅里叶变换
第九章  线性积分方程
  1  基本定义  导致积分方程的某些问题
    积分方程的类型

    导致积分方程的问题的一些例子
  2  弗雷德霍姆积分方程
    弗雷德霍姆积分算子
    含对称核的方程
    弗雷德霍姆定理  退化核情形
    含任意核的方程的弗雷德霍姆定理
    沃尔泰拉方程
    第一类积分方程
  3  含参数的积分方程  弗雷德霍姆法
    H里紧算子的谱
    以λ的幂级形式求解  弗雷德霍姆行列式
第十章  线性空间微分学概要
  1  线性空间中的微分
    强微分
    弱微分
    有限增量公式
    弱可微性与强可微性之间的关系
    可微分泛函
    抽象函数
    积分
    高阶导数
    高阶微分
    泰勒公式
  2  隐函数定理及其某些应用
    隐函数定理
    微分方程解对初始数据的依赖性定理
    切流形  刘斯切尔尼克定理
  3  极值问题
    极值的必要条件
    二阶微分  泛函极值的充分条件
    有约束的极值问题
  4  牛顿法
附录  巴拿赫代数
  1  巴拿赫代数的定义与一些例子
  2  谱和预解式
    定义与例子
    谱的性质
    谱半径定理
  3  几个辅助结果
    商代数定理
    三个引理
  4  基本定理
    线性连续可乘泛函与极大理想
    集M中的拓扑  基本定理
    维纳定理;  习题
文献
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索引
译者后记

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